M.C.D e m.c.m di un insieme di numeri

L'acronimo M.C.D sta per massimo comune divisore mentre l'acronimo m.c.m sta per minimo comune multiplo. Vediamo come si calcolano passo per passo. Per capire come si calcolano è necessario avere in mente il concetto di numeri primi. I numeri primi sono quei numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stesso. Il termine divisibile significa che il risultato della divisione deve essere un numero intero e non decimale, ossia la divisione è esatta.

Alcuni numeri primi sono:

1, 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 ect

Per capire il concetto vediamo il seguente esempio e proviamo che il numero 19 è un numero primo

19 : 1= 19          il risultato è un numero intero

19 : 2 = 9,5        il risultato è un numero decimale

19 : 3 = 6,33      il risultato è un numero decimale

....

19:19= 1            il risultato è un numero intero

Incominciamo con il M.C.D. Vogliamo calcolare il M.C.D dei numeri:        54,   18,  76 

1) Si scompongono i numeri in fattori primi.

Per scomporre i numeri in fattori primi bisogna dividerli per i numeri primi

54| 2                     18| 2              76| 2

27| 3                       9| 3              38|2

  9| 3                       3| 3              19|19

  3| 3                       1                    1

  1

54= 2*3*3*3    18= 2*3*3   76= 2*2*19

2) Si moltiplicano i fattori primi comuni tra tutti i numeri presi una sola volta con il minimo esponente

Per i numeri 54 , 18 e 76 i fattori primi comuni, cioè presenti in tutti e tre i numeri è il 2.
Nel 54 e nel 18, il fattore primo 2 è contenuto una sola volta mentre nel 76 è contenuto due volte.
Per calcolare il M.C.D devo prendere il 2 solo una volta!

M.C.D =2

Calcoliamo ora il m.c.m sempre degli stessi numeri:       54,   18,  76 

1) Si scompongono i numeri in fattori primi.

Per scomporre i numeri in fattori primi bisogna dividerli per i numeri primi

54| 2                     18| 2              76| 2

27| 3                       9| 3              38|2

  9| 3                       3| 3              19|19

  3| 3                       1                    1

  1

54= 2*3*3*3    18= 2*3*3   76= 2*2*19

2) Si moltiplicano i fattori primi comuni e non comuni  presi una sola volta con il massimo esponente

Per i numeri 54 , 18 e 76 i fattori primi comuni, cioè presenti in tutti e tre i numeri è il 2.
Nel 54 e nel 18, il fattore primo 2 è contenuto una sola volta mentre nel 76 è contenuto due volte.
I fattori non comuni sono invece il 3 (presente tre volte nel 54) e il 19.

Il m.c.m è dato dal prodotto

m.c.m=2*2*3*3*3*19= 2052

Sistemi lineari: metodo di Cramer

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo di Cramer.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• assicurarsi che il sistema sia in forma normale 

         

• si calcola il determinante: se non è uguale a zero si può applicare Cramer

         

• si trova la x e la y in questo modo

          e       

Sistemi lineari: metodo di riduzione

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo di riduzione.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• assicurarsi che il sistema sia in forma normale 

         

• si decide la variabile da eliminare, esempio la y
• si moltiplica allora ogni membro della prima equazione per a' e ogni membro della seconda equazione per -a                                            NOTA: i coefficienti della variabile devono risultare di segno opposto cosi che da eliminarsi
• trovato il valore della x si sostituisce in una delle 2 equazioni normalizzate

Sistemi lineari: metodo del confronto

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo del confronto.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• si espicitano tutte e due le equazioni per la stessa variabile

     

• si confrontano le due espressioni

     

• si ottiene il valore della variabile

• si sostituisce il valore della variabile ottenuta in una delle 2 equazioni

Sistemi lineari: metodo di sostituzione

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo per sostituzione.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• esplicitare una delle due equazioni rispetto a una variabile

     

• sostituire la variabile nell'altra equazione

     

• risolvere l'equazione dalla quale si otterrà il valore di x
• sostituire il valore di x nella prima equazione e si otterrà cosi il valore di y
• si trova la soluzione (x,y)