Sistemi lineari: metodo di Cramer

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo di Cramer.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• assicurarsi che il sistema sia in forma normale 

         

• si calcola il determinante: se non è uguale a zero si può applicare Cramer

         

• si trova la x e la y in questo modo

          e       

Sistemi lineari: metodo di riduzione

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo di riduzione.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• assicurarsi che il sistema sia in forma normale 

         

• si decide la variabile da eliminare, esempio la y
• si moltiplica allora ogni membro della prima equazione per a' e ogni membro della seconda equazione per -a                                            NOTA: i coefficienti della variabile devono risultare di segno opposto cosi che da eliminarsi
• trovato il valore della x si sostituisce in una delle 2 equazioni normalizzate

Sistemi lineari: metodo del confronto

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo del confronto.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• si espicitano tutte e due le equazioni per la stessa variabile

     

• si confrontano le due espressioni

     

• si ottiene il valore della variabile

• si sostituisce il valore della variabile ottenuta in una delle 2 equazioni

Sistemi lineari: metodo di sostituzione

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si presenta nella forma:


Un metodo per risolvere i sistemi lineari è il metodo per sostituzione.

Si devono eseguire i seguenti passaggi:

• esplicitare una delle due equazioni rispetto a una variabile

     

• sostituire la variabile nell'altra equazione

     

• risolvere l'equazione dalla quale si otterrà il valore di x
• sostituire il valore di x nella prima equazione e si otterrà cosi il valore di y
• si trova la soluzione (x,y)

Disequazioni con valore assoluto

L'espressione |A(x)| ha il seguente significato:

            |A(x)| = A(x)      quando A(x) > 0

            |A(x)| = - A(x)    quando A(x) < 0

La disequazione con i valori assoluti si presenta nelle seguenti forme:

            |A(x)| > B(x)  oppure  |A(x)| >|B(x)|  oppure |A(x)| > B(x) + |C(x)|

Per risolvere la disequazione occorre trasformare la disequazione in 2 o più sistemi (a seconda del caso).
La soluzione complessiva è data dall'unione delle soluzioni di ciascun sistema.

• |A(x)| > B(x)

                     

•  |A(x)| >|B(x)|

  

 

•   |A(x)| > B(x) + |C(x)|

Equazioni con i valori assoluti

L'espressione |A(x)| ha il seguente significato:
 
            |A(x)| = A(x)      quando A(x) > 0

            |A(x)| = - A(x)    quando A(x) < 0
 
L'equazione con i valori assoluti si presenta nelle seguenti forme:

            |A(x)| = B(x)  oppure  |A(x)| = |B(x)|  oppure |A(x)| = B(x) + |C(x)|

Per risolvere l'equazione occorre trasformare l'equazione in 2 o più sistemi misti (a seconda del caso)

• |A(x)| = B(x)      

                                     

• |A(x)| = |B(x)|

              

•   |A(x)| = B(x) + |C(x)|
         
 

Sistemi di disequazioni

Un sistema di disequazioni si presenta nella seguente forma



La soluzione di un sistema è data dall'insieme di soluzioni comuni delle singole disequazioni. E' facile trovare le soluzioni comuni se si utilizza il grafico: saranno soluzione i tratti di linea continua comune.
Se non dovessero esserci tratti comuni, allora il sistema si dice impossibile.

Disequazioni frazionarie

Una disequazione è frazionaria se si trova nella forma

                                                  oppure    


                                                 oppure    

Per risolvere questo tipo di disequazione bisogna procedere con i sequanti passi

• Separare Numeratore dal Denominatore e studiare il segno di ciascuno dei due applicando la seguente tabella

   

	N(x) > 0		N(x) ≥ 0
	D(x) > 0		D(x) > 0
	N(x) > 0		N(x) ≥ 0
	D(x) > 0		D(x) > 0

• Studio il segno dalla frazione unendo la soluzione del Numeratore e quella del Denominatore:

                 PRENDO I SEGNI POSITIVI SE LA DISEQUAZIONE DI                                         PARTENZA HA SIMBOLO   >   oppure    ≥
                 PRENDO I SEGNI NEGATIVI SE LA DISEQUAZIONE DI                                       PARTENZA HA SIMBOLO   <   oppure   ≤